DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN KONTINU

Distribusi peluang adalah sebuah daftar dari semua hasil yang mungkin muncul dari sebuah percobaan dan peluang yang berhubungan dengan setiap hasil.
Distribusi peluang dibagi 2 :

Distribusi Peluang Diskrit hanya dapat bernilai tertentu. Ciri-ciri utamannya adalah :

• Jumlah total peluangnya sama dengan 1
• Peluang dari suatu hasil adalah antara 0 sampai 1
• Hasilnya tidak terikat satu sama lain

2. Distribusi Peluang Kontinu dapat bernilai tak hingga dalam suatu jangkauan yang spesifik.
Nilai rata-rata dan variansi dari sebuah distribusi peluang dapat dihitung sebagai berikut :
Rumus Menghitung Rata-rata  :

Rumus Menghitung Variansi :

Berikut ini beberapa Distribusi Peluang Diskrit :

1. Distribus Binomial

• Setiap hasil diklasifikasikan ke dalam satu dari dua kategori yang tidak terikat satu sama lain.
• Distribusi ini dihasilkan dari perhitungan jumlah sukses dari sejumlah percobaan.
• Peluang sebuah sukses tetap sama dari satu percobaan ke percobaan lain.
• Setiap percobaannya saling bebas.
• Peluang Binomial dengan p = Peluang suskes dihitung dengan rumus sbb:

• Nilai Rata-rata nya :

• Nilai Variansinya :

2. Distribusi Hipergeometris

• Distribusi ini hanya memiliki dua hasil yang mungkin muncul.
• Peluang sebuah sukses tidak sama untuk setiap percobaan
• Distribusi ini dihasilkan dari perhitungan jumlah sukses dari sejumlah percobaan
• Distribusi ini digunakan ketika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.
• Sebuah Peluang Hipergeometris dihitung dengan menggunakan rumus sbb :

3. Distribusi Poisson

• Distribusi ini menjelaskan jumlah kejadian dari suatu peristiwa selama interval tertentu
• Peluang sebuah sukses terjadi secara proporsional dengan panjang intervalnya
• Interval-interval yang tidak saling tumpang tindih bersifat saling bebas
• Distribusi Poisson dihitung dengan rumus sbb :

Distribusi Peluang Kontinu yang paling sering digunakan adalah Distribusi Normal. Distribusi Normal ditentukan oleh dua parameter yaitu rata-rata dan simpangan baku dengan rumus sbb :

Distribusi Normal memiliki ciri-ciri sebagai berikut :

• Berbentuk lonceng dan memiliki satu puncak pada bagian tengah distribusi
• Distribusinya simetris
• Asimtotik artinya kurvanya mendekati tetapi tidak pernah menyentuh sumbu-X

Distribusi Normal Baku adalah bentuk khusus dari Distribusi Normal dengan ciri-ciri :

• Memiliki Nilai Rata-rata = 0 dan Simpangan Baku = 1
• Semua Distribusi Normal dapat diubah menjadi Distribusi Norma Baku dengan menggunakan rumus berikut :

Pendekatan Distribusi Normal bisa digunakan untuk menghitung peluang Distribusi Binomial dengan syarat :

• Jumlah pengamatan relatif besar
• Memenuhi syarat binomial
• Rumus Nilai Normal untuk pendekatan Binomial :

• Faktor koreksi diperlukan dari Distribusi Binomial yang Diskrit menjadi Distribusi Normal yang Kontinu dengan menambah atau mengurangi 0.5 terhadap nilai X.

 

Variabel Acak dan Fungsi Distribusi Peluang Diskrit

Variabel Acak dan Fungsi Distribusi Peluang Diskrit

1.  Variabel Acak

Variabel acak adalah sebuah fungsi yang memetakan hasil kejadian yang ada di alam (seperti : buka dan tutup; terang, redup dan gelap; merah, kuning dan hijau; hidup dsb.) menjadi bilangan numerik. Semua kejadian yang mungkin muncul dalam suatu percobaan kita sebut sebagai anggota Ruang Sample yang dinotasikan dengan S. Sebuah fungsi yg mengaitkan sebuah bilangan real dengan setiap elemen di ruang sampel.

Notasi :

X   : variabel randomnya acak (fungsi)

x    : salah satu nilai x yang mungkin

·  Variabel Acak Diskrit Variabel X adalah variabel acak diskrit jika X banyak nilainya dapat dihiitung (berkorelasi 1 – 1 dengan bilangan bulat positif) Untuk variabel acak diskrit :

X : p(x) = P(X = x)

·   Variabel Acak Kontinu Variabel X adalah variabel acak kontinu jika banyaknya nilai xi tak dapat dihitung

Syarat Variabel Acak

1.     Fungsi yang dapat dinyatakan sebagai variabel acak adalah fungsi yang bukan bernilai ganda (Multivalued)

2.     Fungsi variabel acak hanya memiliki satu harga dari suatu elemen sampel eksperimen

Contoh Variabel Acak

Kemungkinan besok akan turun hujan.

Kemungkinan jawaban :

X : p(x) = P(X = x)

Y = { Hujan, Tidak Hujan } atau

Y = { 1 = Hujan, 0 = Tidak Hujan }atau

Y = { 21 = Hujan, 200 = Tidak Hujan }

2.  Variabel Acak Diskrit

Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan. Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah. Untuk sebuah variabel acak diskrit X kita tentukan Fungsi Masa Probabilitas (Probability Mass Function) p(x) dengan :

p(x) = P(X = x)

Ruang Sampel

Ruang Sampel adalah kumpulan semua even (kejadian) atau himpunan dari semua outcome yang mungkin dari suatu eksperimen random dinyatakan dengan S. Suatu elemen/unsur/anggota pada Ruang sampel (S) disebut titik sampel (sample point). Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel dibedakan menjadi ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu.

A.   Distribusi Probabilitas Diskrit

Himpunan pasangan tersusun (x,f(x)) adalah sebuah fungsi peluang, fungsi massa peluang atau sebaran peluang dari variabel acak diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin adalah:

B.   Fungsi Distribusi Kumulatif

Sebaran kumulatif atau Fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari X

F(x) adalah adalah suatu peubah acak X dengan sebaran peluang f(x) dinyatakan oleh :

3.  Sifat – Sifat Fungsi Distribusi Peluang Diskrit

·        0 ≤ F (x) ≤ 1

·        F (x), fungsi yang tidak turun, sebagai kumulatif setiap x naik

·        F (y) = 0, untuk setiap titik y yang lebih kecil dari nilai x terkecil

·        F (z) = 1, untuk setiap titik z yang lebih besar dari nilai x terbesar

·        F (x), merupakan fungsi tangga dengan tinggi f(x) = P(X = x)

PROBABILITAS

1.  Pengertian Probabilitas

Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P.

§    Contoh 1: Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah ½.

§     Contoh 2: Sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6).

Rumus :

P (E) = X/N

P       : Probabilitas

E       : Event (Kejadian)

X       : Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)

N       : Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

Walaupun cara penelitian dengan menggunakan sampling akan menimbulkan kesimpulan dan keputusan yang melibatkan resiko kekeliruan dan ukuran ketidakpastian, tetapi penelitian melalui sampling akan memberikan banyak keuntungan.

Probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnya kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Suatu probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam presentase.  Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi.

Ada tiga hal penting dalam probabilitas, yaitu:

1. Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

2.    Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.

3.  Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

2.  Manfaat Probabilitas dalam Peneitian

Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain:

§  -     Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.

§  -Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.

§ -    Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil  penelitian dari suatu populasi.

3.  Pendekatan Probabilitas

Ada 3 (tiga) pendekatan konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai probabilitas, yaitu :

a)    Pendekatan Klasik,

b)    Pendekatan Frekuensi Relatif, dan

c)    Pendekatan Subyektif.

1)      Pendekatan Klasik

Pendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi sama besar (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil).

Probabilitas suatu peristiwa = Jumlah kemungkinan hasil / Jumlah total kemungkinan hasil

Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah:

P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah:  P (A) = b/a+b

Contoh:

Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?

Jawab:

P (A) = 15/10+15 = 3/5

2)      Pendekatan Relatif

Besarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. probabilitas dapat dinyatakan sebagai berikut :

Probabilitas kejadian relatif = Jumlah peristiwa yang terjadi / Jumlah total percobaan atau kegiatan

Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: P (A) = a/N

Contoh:

Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

Jawab:

P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80

3)      Pendekatan Subjektif

Besarnya suatu probabilitas didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh dan berdasarkan keyakinan.

4.  Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas

Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.

1)      Hukum Penjumlahan

Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa saling lepas (mutually exclusive) dan peristiwa/kejadian bersama (non mutually exclusive).

§  Saling meniadakan (mutually exclusive)

Apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.
Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan:

P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)

Contoh:

Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:

P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6

§  Kejadian Bersama (Non Mutually Exclusive)

Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama).
Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:

Dua Kejadian

P (A U B) =P(A) + P (B) – P(A ∩ B)

Tiga Kejadian

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi karena ada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, Gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwa di mana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengan demikian, probabilitas pada keadaan di mana terdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan B maka probabilitas A atau B adalah probabilitas A ditambah probabilitas B dan dikurangi probabilitas elemen yang sama dalam peristiwa A dan B.

§  Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)

Apabila peristiwa A dan B saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi.  Peristiwa A dan B dikatakan sebagai peristiwa komplemen.
Rumus untuk kejadian-kejadian yang saling melengkapi :

P(A)+P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)

2)      Hukum Perkalian

§  Hukum Bebas (independent)

Hukum perkalian menghendaki setiap peristiwa adalah independen, yaitu  suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. Peristiwa A dan B independen, apabila peristiwa A terjadi tidak menghalangi terjadinya peristiwa B.

P(A ∩ B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)

Contoh soal 1:

Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:

P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Contoh soal 2:

Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:

P (H) = ½, P (3) = 1/6

P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12

§  Peristiwa Bersyarat (Tidak Bebas) / (Conditional Probability)

Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi. Peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi.

P(A dan B) = P(A x P(B|A) atau P(B dan A) = P(B) x P(A|B)

Contoh :

Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52

Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51

P (as II │as I) = 3/51

P (as I ∩ as II) = P (as I) x P (as II│ as I) = 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221

5.  Diagram Pohon Probabilitas

Diagram pohon merupakan suatu diagram yang menyerupai pohon dimulai dari batang kemudian menuju ranting dan daun. diagram pohon dimaksudkan untuk membantu menggambarkan probabilitas atau probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama. diagram pohon sangat berguna untuk menganalisis keputusan-keputusan bisnis dimana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan.

Contoh:

1)      Ruang Sampel dan Titik Sampel

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian. Ruang Sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.

Titik Sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.

Contoh:

Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang berisi angka (A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut.

1.  Dengan Diagram Pohon

Kejadian yang mungkin:

AA : Muncul sisi angka pada kedua koin

AG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2

Dengan Tabel

Ruang sampel = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}

Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G)

Teorema Bayes

Dalam teori probabilitas dan statistika, teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalam penafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru. Dalam penafsiran frekuentis teorema ini menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika Bayes dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi mikro), teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk memperbarui kepercayaan dinamakan inferens Bayes.

atau

Prinsip Menghitung

1.  Faktorial
Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu. Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut :

n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … 3 x 2 x 1

n ! dibaca n faktorial

nb: 0! = 1dan 1! = 1

Contoh:

3! = 3 x 2 x 1 = 6
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2.  Permutasi
Permutasi digunakan untuk mengetahui jumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. pada permutasi berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek. Permutasi dirumuskan sebagai berikut :

atau

dimana :

P = Jumlah permutasi atau cara objek disusun
n = jumlah total objek yang disusun
r/k = jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r/k dapat sama dengan  n atau lebih kecil

! = tanda dari faktorial

Contoh:

Di kantor pusat DJBC Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk menjadi mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?

Jawab : Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)

Permutasi Unsur-unsur  yang sama

Contoh:

Tentukan permutasi atas semua unsur yang dibuat dari kata MATEMATIKA!

Jawab: Pada kata MATEMATIKA terdapat 2 buah M, 3 buah A, dan 2 buah T yang sama, sehingga permutasinya adalah:

Permutasi Siklis

RUMUS: banyaknya permutasi = (n-1)!

Contoh:

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?

Jawab : Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

3.  Kombinasi

Kombinasi digunakan apabila ingin mengetahui berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya. Jumlah kombinasi dirumuskan sebagai berikut :

Contoh:

Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte (Pelatih Juventus) punya 20 pemain yang akan dipilih 11 diantaranya untuk jadi starter. Berapa banyak cara pemilihan starter tim juventus? (tidak memperhatikan posisi pemain).